내적, 직교투영 , 직교화

※ 내적

     - 내적(inner product)은 점곱(dot product)이라고도 불린다.

      표기법 )  U ● V 

 

      내적은 스칼라 값을 나타내는 벡터 곱셈이다. 곱셈 결과는 스칼라 값이 나온다.

      다음과 같이 내적이 정의 된다.

U = (Ux , Uy,  Uz) 인 벡터

V = (Vx , Vy , Vz) 인 벡터

 

U ● V  = Ux Vx  + Uy Vy  + Uz Vz

      실제계산)

U = (-1 , 3 , 6)

V = (-5 , 2 , 9)

 

U ● V =  (-1 x -5) + (3 x 2) + (6 x 9) = 65

 

     ★ 내적의 정의만 봐서는 내적의 기하학적 의미가 분명하지 않다. 그래서 코사인 법칙을 적용하면

          다음과 같은 관계를 찾을 수 있다.

 

U ● V = ll U ll x ll V ll x cosΘ 

(여기서 Θ는  0 ≤  Θ ≤ π)

(U가 단위 벡터 , V가 단위 벡터 이면 U ● V = cosΘ 가 된다.)

 

         - 여기서 유용한 속성 몇가지를 이끌어낼 수 있다.

           1.  U ● V = 0 이면 ,  U ⊥ V 이다 (수직이다. 즉 두 벡터는 직교이다.)

           2.  U ● V > 0 이면, 두 벡터 사이에 각도 Θ는 90도 보다 작다.

           3.  U ● V < 0 이면, 두 벡터 사이에 각도 Θ는 90도 보다 크다.

 

        실제계산)

        U =  (1 , 2 , 3) 인 벡터

        V =  (-4 , 0 , -1) 인 벡터

※ 직교투영

     - 수직으로 내린 그림자 라는 뜻인데 어떤건지는 다음과 같이 보자.

     ★ 공식을 구해보자.         

          벡터 V , 단위벡터 n이 주어졌을 때 P를 내적을 이용해서 v와 n으로 표현하는 공식을 구해보자.

P = kn을 만족하는 스칼라 k가 존재

ll n ll = 1이므로 

ll P ll =  = ll kn ll = l k l x ll n ll = l k l 

(P와 n이 반대 방향일 때 k는 음수를 가져서 절대값으로 나타낸다.)

 

이제 삼각함수 법칙들을 적용하면 

COSΘ = k / ll v ll

k = ll v ll COSΘ

 

따라서 

P = kn

P = (ll v ll COSΘ)n 

 

그런데 n은 단위 벡터이므로 다음과 같이 표현

P = (ll v ll COSΘ)n

P = (ll v ll x 1 x COSΘ)n

P = (ll v ll x ll n ll x COSΘ)n

P = (V ● N)n

 

이 공식에 따르면 k = V ● N이다. n이 단위 벡터일 때 V ● N의 기하학적 의미를 말해준다.

이러한 P를 n에 대한 v의 직교투영(orthographic projection  ; 또는 정사영)이라고 한다.

 

표기법)

 

※ 직교화(orthonormal)

     - 벡터 집합{V0 ~ Vn-1}의 모든 벡터가 단위 길이고 , 서로 직교일 때 그러한 벡터 집합을 정규직교(orthonormal)집합이라 한다.  (집합의 모든 벡터가 다른 모든 벡터와 수직이다.)

단, 주어진 벡터 집합이 정규직교에 가깝지만 완전히 정규직교가 아닌경우도 있다. 이러한 벡터 집합을 정규직교벡터 집합으로 만드는 걸 직교화(orthonormal) 이라고 한다.

 

    - 왜 쓰는가?  

     최적화 하려고 쓴다고 한다. 예를 들어 어떤 벡터를 단위 벡터로 만들지 않고 쓰면 계산이 복잡해 진다. 즉 연산량이 많아진다. 그래서 크기 단위가 1인 벡터로 만들어 사용하면 연산이 적어진다. 고로 벡터 집합들을 단위 벡터로 다 모아두면 필요로한 벡터연산을 할 때 연산량을 적게 들이고 연산을 할 수 있다.

 

- 설명

다음 서로 직교인 2차원 벡터 집합을 만들어보자.

1. W0 = V0으로 시작해서 , 벡터 V1이 W0과 직교가 되게 만든다. 이를 위해 W0의 방향으로 작용하는 부분을 V1에서 뺀다.

이제 서로 직교인 벡터 집합 {W0 , W1} 이 만들어 졌다.

이제 집합을 정규화해서 단위 길이로 만들어 사용한다.

정규화 그림

 

3차원도 비슷하다 단계만 늘어날 뿐이다.

서로 직교인 3차원 벡터 집합

1. W0 = V0 시작 V1이 W0 직교되게 만든다.  이를 위해 W0 작용하는 부분을 V1에서 뺀다.

1번

2. V2가 W0과 W1 모두에 직교가 되게 한다. 이를 위해 W0방향으로 작용하는 부분과 W1방향으로 작용하는 부분을 V2에서 뺀다.

이제 서로 직교인 벡터 집합 {W0 , W1, W2} 가 만들어 졌다.

이제 이를 일반화해서 , N개의 벡터들의 집합 {V0 , V1 ... Vn-1}을 정규직교 집합 {W0,W1....Wn-1}으로

직교화 할때는 그람-슈미트 직교화라는 공정을 적용한다.

 

끝