전치행렬, 단위행렬, 행렬식, 딸림행렬, 역행렬

1.  전치행렬

행렬의 전치(transpose), 즉 전치행렬은 행렬의 행들과 열들을 맞바꾼 것이다. 따라서 m x n 행렬의 전치는  n x m 행렬이다. 행렬 M의 전치행렬은 다음과 같이 표기한다.

행렬 M의 전치행렬

다음과 같이 행과 열을 바꿉니다.

1행 -> 1열 , 2행 -> 2열, 3행 -> 3열... 이렇게 위치를 바꿉니다.

 

전치행렬에는 다음과 같은 유용한 성질이 있다.

 

2. 단위행렬

단위행렬(identity matrix) 이라고 부르는 특별한 행렬이 있다. 열 수과 행 수가 같은 정사각형의 행렬을 정방행렬(square matrix)이라고 부른다. 정방행렬의 좌상에서 우하로의 주된 대각선에 있는 성분들은 주대각(main diagonal) 성분이라고 부르는데, 단위행렬은 주대각 성분들만 1이고 나머지는 모두 0인 정방행렬이다.

 

    예를 들어 다음은 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4 단위행렬이다.

   단위행렬은 곱셈의 항등원 역할을 한다.

   즉, A가  m  x n  행렬이고 B가 n x p 행렬, I가 n x n 단위행렬이면 아래와 같다.

   다른 말로 하면, 어떤 행렬에 단위행렬을 곱해도 그 행렬은 변하지 않는다. 단위행렬을 1의 행렬 버전이라고 생각하면 된다. 특히, M이 정방행렬일 때 단위행렬과의 곱셈은 교환법칙을 만족한다.

 

3. 행렬식

행렬식(Determinant)은 정방행렬을 입력받아서 실숫값을 출력하는 특별한 함수이다. 정방행렬 A의 행렬식을 흔히 det A로 표기한다. 기하학적으로 행렬식이 3차원 입체의 부피와 관련이 있다는 점과 행렬식이 선형변환 하에서 그 부피가 변하는 방식에 대한 정보를 제공한다는 점을 증명하는 것이 가능하다. 또한, 행렬식은 크라메르의 법칙(Cramer's rule)을 이용해서 1차 연립방정식을 푸는 데에도 쓰인다. 그러나 여기에서는 행렬의 역(역행렬)을 구할 때 행렬식이 쓰인다. 또한, 다음과 같은 정리가 있다.

  위의 정리를 이용하면 주어진 행렬의 역을 구하는 것이 가능한지를 손쉽게 판정할 수 있다. 행렬식을 정의하기 전에, 먼저 소행렬이라는 개념부터 살펴보자.

  3.1 소행렬

  예를 들어 보자.

소행렬 예제

   3.2 행렬식의 정의

     행렬의 행렬식은 재귀적으로 정의된다. 예를 들어 4 X 4 행렬의 행렬식은 3 X 3행렬의 행렬식들로 정의되고, 3 X 3 행렬의 행렬식은 2 X 2 행렬의 행렬식들로, 2 X 2 행렬의 행렬식은 1 X 1 행렬의 행렬식들로 정의된다. (1 x 1 행렬 A = [A¹¹]의 행렬식은 자명하게 정의되는데, 바로 det[A¹¹] = A¹¹이다. )

 

행렬식 공식

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